Ricardo Pérez López
IES Doñana, curso 2024/2025
Una variable es un símbolo que representa un valor que puede cambiar. Por ejemplo: X, x, a, total.
Una constante es un símbolo que representa un valor que nunca cambia. Por ejemplo: 1, =, \pi.
Muchas veces, el que un símbolo sea constante o variable depende del contexto y del acuerdo al que se haya llegado. Por ejemplo, el símbolo + puede representar varias cosas según el momento.
Una fórmula es una secuencia de símbolos (números, letras y caracteres especiales) que tiene que cumplir unas reglas de formación determinadas por un lenguaje formal. En Matemáticas, las fórmulas también se denominan expresiones matemáticas y sirven para representar formalmente un concepto o una idea.
En Matemáticas, la expresión a = b representa que a y b son la misma cosa. En tal caso, decimos que a y b son iguales.
Si no son la misma cosa, decimos que son distintos y se representa con la expresión a \mathrel{\char`≠} b.
Una proposición, aserción o aserto es la expresión de que ocurre un suceso. Si el suceso ocurre realmente, decimos que la proposición es verdadera y, en caso contrario, decimos que es falsa.
Si siempre que una proposición J es verdadera, también lo es otra proposición K, decimos que J implica K, y se escribe: J \implies K \quad\text{(implicación lógica)}
Cuando no sólo J implica K, sino que además K implica J, se dice que las proposiciones J y K son lógicamente equivalentes. En ese caso, decimos que el suceso de J ocurre si y sólo si ocurre el de K. Se escribe: J \iff K \quad\text{(equivalencia lógica)}
Por ejemplo, las proposiciones J = \text{hoy es martes} y K = \text{mañana es miércoles} son equivalentes.
Una colección es un grupo de objetos llamados elementos o componentes.
Las colecciones no tienen ninguna restricción especial. Por tanto, los elementos de una colección:
Pueden aparecer varias veces en una colección (estar repetidos), o pueden no hacerlo.
Pueden estar situados en un orden concreto dentro de una colección (estar ordenados), o pueden no estarlo.
Los dos grandes tipos de colecciones son los conjuntos y las secuencias.
Un conjunto es una colección de elementos que cumple lo siguiente:
Sus elementos no están ordenados según un orden concreto. Por tanto, no se puede hablar del «primer elemento», «segundo elemento», etcétera.
Debido a eso, decimos que los elementos de un conjunto están desordenados.
Sus elementos no pueden estar repetidos. Por tanto, si un elemento está en un conjunto, sólo puede estarlo una vez.
Debido a eso, decimos que los elementos de un conjunto son únicos.
En definitiva, de un elemento de un conjunto sólo tiene sentido preguntarse si pertenece o no pertenece al conjunto, no cuantas veces está ni en qué posición.
Los conjuntos se pueden representar de varias formas:
Gráficamente: mediante un diagrama de Venn.
Con una expresión: en general, una expresión encerrada entre llaves \{ \} representa un conjunto.
Normalmente, las variables que representan conjuntos se escriben con mayúsculas (A, B, C, …) mientras que las letras minúsculas suelen representar elementos.
Cuando un conjunto se representa mediante una expresión, se puede representar:
Por extensión.
Por comprensión.
Por definición inductiva.
Normalmente, los puntos suspensivos se utilizan cuando resulta evidente cuáles son los elementos que no aparecen indicados expresamente. Por ejemplo: C = \{1, 2, 3, \ldots\} es el conjunto de todos los números naturales desde el 1 en adelante.
También se pueden utilizar los puntos suspensivos para expresar un rango de valores. Por ejemplo: C = \{1, 2, 3, \ldots, 10\} es el conjunto de los números naturales comprendidos entre 1 y 10.
Según alguna propiedad que cumplen los elementos.
Por ejemplo: C = \{a \mid \text{$a$ es un número primo menor que 10}\} es el conjunto \{2, 3, 5, 7\}
El símbolo \mid se lee «tal que».
Indicando un método que permite obtener los elementos de un conjunto de forma progresiva («hacia delante» o «de abajo arriba») a partir de los anteriores.
Por ejemplo, para representar el conjunto de los números naturales podemos seguir las siguientes reglas:
0 es un número natural.
Si n es un número natural, también lo es n+1.
Sólo son números naturales los obtenidos siguiendo las reglas 1 y 2.
Existen varios conjuntos muy importantes en Matemáticas, tanto que tienen su propio símbolo especial para poder referirnos a ellos. Por ejemplo:
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}: el conjunto de los números naturales.
\mathbb{N^+} = \{1, 2, \ldots\}: el conjunto \mathbb{N} menos el cero.
\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}: el conjunto de los números enteros.
\mathbb{Q}: el conjunto de los números racionales.
\mathbb{R}: el conjunto de los números reales.
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que tiene. El cardinal de un conjunto C se representa |C|. Un conjunto puede ser finito o infinito.
Por ejemplo, si C = \{2, 3, 5, 7\}, entonces |C| = 4 y, por tanto, es un conjunto finito. En cambio, |\mathbb{N}| = \infty y, por tanto, es un conjunto infinito.
Un conjunto A se dice que es un subconjunto de un conjunto B si cada elemento de A lo es también de B. En tal caso, se escribe: A \subseteq B
Claramente, siempre se cumple que A \subseteq A.
Cuando A \subseteq B y B posee algún elemento que no es de A (o, lo que es lo mismo, que A \mathrel{\char`≠} B), se dice que A es un subconjunto propio de B y se escribe: A \subset B
Está claro que A \subseteq B, B \subseteq A \iff A = B.
Una secuencia es una colección de elementos que cumple lo siguiente:
Sus elementos están ordenados según un determinado orden. Por tanto (dependiendo de la cantidad de elementos que contenga), hay un elemento situado en primer lugar, otro situado en segundo lugar, y así sucesivamente.
Sus elementos pueden estar repetidos. Por tanto, el mismo elemento puede aparecer varias veces en la misma secuencia, en distintas posiciones.
Llamaremos par o pareja de dos elementos a y b (y lo escribiremos como \langle a,b\rangle o como (a,b)) a una sucesión de dos objetos a y b, donde a está señalado como primero y b como segundo. Por tanto, en general se cumple que \langle a, b\rangle \mathrel{\char`≠} \langle b, a\rangle.
Igualmente, llamamos terna de tres elementos a, b y c (y lo escribimos como \langle a, b, c\rangle) a una sucesión de tres objetos, donde a está considerado como primero, b como segundo y c como tercero.
Siguiendo así, podemos definir cuaterna, quíntupla, séxtupla, … y, en general, enetupla, n-tupla o, simplemente, tupla.
Una 1-tupla \langle a\rangle se puede escribir simplemente a.
En general, a los objetos que forman una tupla se las llama elementos o componentes.
En Matemáticas, las secuencias se pueden escribir mediante tuplas.
El producto cartesiano de A por B es el conjunto de todos los pares \langle a, b\rangle que se pueden formar tales que a \in A y b \in B. Se escribe: A \times B
Por tanto, se puede definir como: A \times B = \{ \langle a, b\rangle \mid a \in A, b \in B \}
Igualmente, se define el producto cartesiano de E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_n como el conjunto formado por las n-tuplas \langle e_1, e_2, \ldots, e_n\rangle tales que: e_1 \in E_1, e_2 \in E_2, \ldots, e_n \in E_n
El producto cartesiano de A por sí mismo, A \times A, se puede escribir como A^2. Igualmente, el producto cartesiano de n conjuntos iguales a E se suele escribir E^n si no hay lugar a confusión. Está claro que E^1 = E.
Una relación R definida sobre los conjuntos E_1, E_2, \ldots, E_n es un subconjunto del producto cartesiano E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_n: R \subseteq E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_n
Por tanto, una relación es un conjunto de tuplas formadas con los elementos de los conjuntos sobre los que se define la relación.
Las relaciones, en definitiva, lo que hacen es asociar entre sí elementos de varios conjuntos.
El valor de n (es decir, el número de conjuntos sobre el que se define la relación) representa el grado de una relación.
Si n = 1, tenemos una relación 1-aria, que se puede considerar como un subconjunto de E_1.
El caso más importante es el de n = 2, es decir, el de las relaciones binarias.
Por supuesto, no es necesario que todos los conjuntos sobre los que se define una relación sean distintos. De hecho, muchas de las relaciones más interesantes que existen son las que relacionan a un conjunto consigo mismo.
Por ejemplo, la relación binaria R definida así: R = \{ \langle a, b\rangle \mid a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{N}, a < b \}
Dados dos conjuntos A y B, una función o aplicación de A en B es un conjunto f de pares \langle a, b\rangle de A \times B que cumple que cada elemento de A sólo puede aparecer, como mucho, una única vez como primer componente en un par de f.
Dicho de otra forma: una función es una relación binaria en la que no puede haber dos pares distintos con el mismo primer componente (el primer componente no se puede repetir en ningún par).
Para indicar que f es una función de A en B, se escribe: f: A \longrightarrow B
Se puede decir que f asocia elementos de A con elementos de B, de forma que:
Un elemento de A puede no estar asociado con ningún elemento de B.
Si un elemento a de A está asociado con algún elemento b de B, entonces:
Se dice que a es el origen de b en f.
Se dice que b es la imagen de a por f.
b se puede expresar como f(a).
Se puede escribir: f: a \longrightarrow b
Por lo dicho anteriormente, la imagen de a es única, es decir, cada elemento de A sólo puede tener una imagen como mucho (puede que ninguna).
Se llama conjunto origen (o simplemente origen) de f, y se representa como \underline{\textrm{orig}(f)}, al conjunto A.
Se llama conjunto imagen (o simplemente imagen) de f, y se representa como \underline{\textrm{imag}(f)}, al conjunto B.
Se llama dominio de f, y se representa como \underline{\textrm{dom}(f)}, al conjunto de todos los orígenes de f.
Se llama rango o codominio de f, y se representa como \underline{\textrm{rang}(f)}, , al conjunto de todas las imágenes de f.
Es evidente que \textrm{dom}(f) \subseteq A y que \textrm{rang}(f) \subseteq B.
Si se cumple que \textrm{dom}(f) \mathrel{\char`≠} A, decimos que f es una función parcial. En caso contrario (cuando \textrm{dom}(f) = A), decimos que es una función total.
Se dice que f es suprayectiva (o sobreyectiva) si \textrm{rang}(f) = B, es decir, si cada elemento de B es imagen de algún elemento de A.
Se dice que f es inyectiva si para todo a, b \in A, f(a) = f(b) \implies a = b.
O, lo que es lo mismo, a \mathrel{\char`≠} b \implies f(a) \mathrel{\char`≠} f(b).
Se dice que f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo.
Las funciones se pueden representar:
Por extensión: enumerando sus tuplas (las funciones son conjuntos de tuplas).
Con ecuaciones: expresando algebraicamente la correspondencia entre los elementos del conjunto origen y del conjunto imagen. Por ejemplo: \begin{array}{c}f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} \\ f(x) = \frac{1}{x}\end{array}
donde x es la variable independiente.
Recordemos que una función es un caso particular de relación, la cual a su vez es un conjunto de tuplas.
En este caso, f(2) = \frac{1}{2}. Por tanto, la función f (como conjunto) contendrá a la tupla \langle 2, \frac{1}{2}\rangle.
Cuando el conjunto origen de una función es el producto cartesiano de varios conjuntos, tenemos una función de varias variables.
Las funciones de varias variables se llaman así porque tienen varias variables independientes.
En realidad, lo que hace es asociar tuplas con imágenes (que también podrían ser otras tuplas, pero ese ya es otro tema).
Por ejemplo, la función que asocia cada pareja de números enteros con su suma, se podría representar así:
\begin{array}{c}f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} \\ f(x, y) = x + y\end{array}
donde x e y son las variables independientes.
En este caso, f(2, 3) = 5, así que la función f asocia a la pareja \langle 2, 5\rangle con el valor entero 5. Por tanto, la función f (como conjunto) contendrá a la tupla \langle \langle 2, 3\rangle, 5\rangle.